Exemple de fonction coercive

La composition d`une carte propre bijective suivie d`une carte coercitive est coercitive. Vous pouvez maintenant voir que $f (mathbf{x}) To infty $ As $ | mathbf{x} | To infty $. Cependant, une cartographie normative-coercitive f: RN → RN n`est pas nécessairement un champ vectoriel coercitif. Par exemple, la fonction d`identité sur R {displaystyle mathbb {R}} est Norm-coercitive mais pas coercitive. On peut également montrer que l`inverse est vrai si un {displaystyle A} est auto-adjoint. Par exemple: une fonction $f $ d`un espace normed $X $ à des nombres réels peut être appelée coercitives IFF $ lim_{| X | To infty} f (X) = infty $. En effet, ⟨ A x, x ⟩ ≥ C ‖ x ‖ {displaystyle langle ax, xrangle geq C | x |} pour Big ‖ x ‖ {displaystyle | x |} (si «x» {displaystyle | x |} est délimité, il suit facilement); en remplaçant ensuite x {displaystyle x} par x “x” − 2 {displaystyle x | x | ^ {-2}} nous obtenons qu`un {displaystyle A} est un opérateur coercitif. Une autre définition que j`ai vu est $ $ lim_{| x | To infty} frac{f (x)} {| x |} = infty. En outre, étant donné un opérateur auto-adjoint coercitif A, {displaystyle A,} la forme bilinéaire a {displaystyle a} définie comme ci-dessus est coercitive. Si A: H → H {displaystyle A:Hto H} est un opérateur coercitif, il s`agit d`une cartographie coercitive (dans le sens de la coercivité d`un champ vectoriel, où l`on doit remplacer le produit point par le produit intérieur plus général). Toutefois, une fonction de coercition normale f: R n → R {displaystyle f:mathbb {R} ^ {n} To mathbb {R}} n`est pas nécessairement coercitive. Cela signifie que la fonction se développe finalement à l`infini que son argument grandit.

Considérez la première fonction $f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 $. Utilisez l`inégalité $-frac{3}{2} (x ^ 2 + y ^ 2) leqslant-3XY $ pour dériver une limite inférieure pour $f (x, y) $. Montrez que pour tout $M > $0 il existe un nombre $K > $0 tel que $f (x, y) > M $ chaque fois que $ sqrt{x ^ 2 + y ^ 2} > K $. L`inégalité Cauchy Schwarz. Cet article incorpore le matériel de la fonction coercitive sur PlanetMath, qui est sous licence Creative Commons Paternité/Partage de licence. Selon le contexte, différentes définitions exactes de cette idée sont en cours d`utilisation. Cette fonction peut être écrite en termes de vecteurs comme $f (mathbf{x}) = | mathbf{x} | ^ 2 $. Il existe d`autres définitions dans le même esprit de la fonction croissante à l`infini “suffisamment rapide”, pour une certaine définition de “suffisamment rapide”. La considérer le cas le plus simple possible où la condition est satisfaite et le cas le plus simple où il est cassé; les fonctions définies sur la ligne réelle sont souvent de bons candidats, mais si votre fonction est une forme bilinéaire, considérez les fonctions définies sur $ mathbb{R} ^ 2 $ à la place.

Pour montrer qu`ils sont coercitifs, je dois montrer que la norme va à l`infini la fonction doit aussi aller à l`infini à droite? Cela signifie que la fonction se développe à l`infini plus rapidement qu`une fonction linéaire. Gamma $-convergence depuis un certain temps maintenant; Il m`a conduit à me demander: quelle est l`intuition derrière les fonctions coercitives? Par exemple, la rotation f: R2 → R2, f (x) = (-x2, x1) par 90 ° est un mappage de norme-coercitive qui ne parvient pas à être un champ de vecteur coercitif depuis f (x) ⋅ x = 0 {displaystyle f (x) cdot x = 0} pour chaque x de R 2 {displaystyle xin mathbb {R} ^ {2}}. La fonction coercitive, où j`ai rencontré de telles choses, est celle qui croît suffisamment vite, car la valeur absolue de son argumentation grandit. Voici un indice pour la deuxième fonction.

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